【向量计算公式】在数学和物理中，向量是一个非常重要的概念，广泛应用于力学、工程、计算机图形学等领域。向量不仅表示大小，还包含方向信息。为了便于理解和应用，以下是对常见向量计算公式的总结，并以表格形式展示。
一、向量的基本概念
- 向量：具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
- 标量：只有大小，没有方向的量。
- 向量的表示：通常用加粗字母（如 a）或带箭头的字母（如 $\vec{a}$）表示。
二、向量的运算公式总结
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$ | 两个向量对应分量相加 | ||||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$ | 对应分量相减 | ||||
| 数乘向量 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3)$ | 向量与标量相乘，方向不变，大小变为原来的 k 倍 | ||||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$ | 表示向量的长度 | ||
| 单位向量 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 方向与原向量相同，模长为 1 | ||
| 点积（内积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ 或 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 用于计算两向量夹角或投影 | |
| 叉积（外积） | $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$ | 结果为垂直于两向量的向量，模长为面积 | ||||
| 投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影 |
三、应用场景举例
- 物理学：力的合成、速度分解等；
- 计算机图形学：光照计算、物体旋转；
- 机器学习：特征向量、距离计算；
- 工程力学：结构受力分析。
四、注意事项
- 向量的加减法遵循平行四边形法则或三角形法则；
- 点积结果是标量，叉积结果是向量；
- 向量的模长必须为非负数；
- 单位向量常用于标准化向量方向。
通过掌握这些基本的向量计算公式，可以更高效地处理各种涉及方向和大小的问题。无论是学术研究还是实际应用，理解并熟练运用这些公式都是必不可少的基础技能。