1cos2x 也就是 cos2x，它的原函数是二分之一倍 sin2x 加上任意常数 C，也就是积分 cos2x dx 等于二分之一 sin2x 加 C，求这个原函数核心使用换元积分法，因为被积函数是复合三角函数，内层是 2x，外层是 cos 函数，我们需要利用基本积分公式，搭配复合函数求导逆运算来完成求解，基本积分公式里面 cosu 的原函数是 sinu 加 C，这里 u 等于 2x，du 等于 2dx，所以 dx 等于二分之一 du，代入积分式子之后就可以把积分转化，计算完成之后再把 u 换回 2x，最后一定要加上积分常数 C，原函数是一族函数，不是单独一个函数，这个是不定积分最关键的要点，学会这道题可以掌握复合三角函数不定积分的基础思路，后续同类比如 cos3x cos4x 这类题型都可以套用相同方法。
基础知识点准备
基本积分公式 积分 cosu du = sinu + C
复合函数结构 被积函数 cos2x 是复合函数，外层 cos，内层 u=2x
微分关系 u=2x，du=2dx，所以 dx=1/2 du
详细求解步骤
第一步 设换元 u=2x
第二步 对 u 求微分 du=2dx，得到 dx=1/2 du
第三步 替换原式 积分 cos2x dx = 积分 cosu 乘以 1/2 du
第四步 提取常数 1/2 积分 cosu du
第五步 使用基本积分公式 1/2 sinu + C
第六步 回代 u=2x，最终结果 1/2 sin2x + C
验算方法
对结果求导，导数等于 1/2 乘以 cos2x 乘以 2，化简之后得到 cos2x，和原来被积函数一致，说明原函数求解正确
拓展变形
如果题目是 1+cos2x 的原函数，积分 (1+cos2x) dx = x + 1/2 sin2x + C，这个也是非常高频考题，很多同学容易把 1cos2x 理解成 1 加上 cos2x，做题的时候一定要看清原式书写形式
同类题型参考清单
积分 cos3x dx = 1/3 sin3x + C
积分 coskx dx = 1/k sinkx + C，k 为常数
综合来看，cos2x 也就是 1cos2x 的原函数是二分之一 sin2x 加上常数 C，核心就是复合函数换元积分，牢记内层系数要取倒数，并且不定积分必须补充任意常数 C，求导验算可以确认计算是否正确。
【相关 FAQ】
问题 1 1cos2x 的原函数为什么一定要加常数 C
回答 1 1cos2x 的原函数是不定积分结果，因为常数求导等于零，所以所有相差常数的函数导数都等于 cos2x，所以原函数是一族函数，必须加上任意常数 C
问题 2 1cos2x 的原函数可以用二倍角公式改写吗
回答 2 1cos2x 的原函数 1/2 sin2x + C，也可以利用二倍角公式 sin2x=2sinx cosx，改写为 sinx cosx + C，两个表达式是等价的
问题 3 1cos2x 的原函数求解可以不用换元法吗
回答 3 1cos2x 的原函数求解可以直接套用复合积分口诀，cos (kx) 积分等于 1/k sinkx + C，k=2 的时候直接得到 1/2 sin2x + C，本质和换元法原理相同
【免责申明】
本文关于 1cos2x 的原函数属于高等数学不定积分解题科普，仅作为学习参考，做题请按照课本规范书写格式，考试以任课老师评分标准为准。