问报童模型的推导过程

【报童模型的推导过程】报童模型是运筹学和库存管理中的经典模型，主要用于解决在需求不确定的情况下，如何确定最优订购量以最大化利润或最小化损失的问题。该模型最初由Erlang提出，后来被广泛应用于零售、物流、生产等领域。

一、模型概述

报童模型的核心问题是：在已知商品的销售价格、采购成本、以及可能的残值（即未售出商品的回收价值）的前提下，如何确定一个最优的订购数量，使得期望利润最大。

模型假设：

- 需求是随机变量，服从某种概率分布（如正态分布、均匀分布等）。

- 每单位商品的采购成本为 $ c $，售价为 $ p $，残值为 $ v $。

- 报童只能订购一次，且不能退货或补货。

二、模型推导

1. 定义变量

2. 利润函数

当实际需求 $ D \leq Q $ 时，只卖出 $ D $ 个商品，剩余 $ Q - D $ 个商品按残值处理：

$$

\pi(Q) = pD - cQ + v(Q - D) = (p - v)D + (v - c)Q

$$

当实际需求 $ D > Q $ 时，全部卖出 $ Q $ 个商品，无法满足需求：

$$

\pi(Q) = pQ - cQ = (p - c)Q

$$

因此，利润函数可表示为：

$$

\pi(Q) =

\begin{cases}

(p - v)D + (v - c)Q, & D \leq Q \\

(p - c)Q, & D > Q

\end{cases}

$$

3. 期望利润

由于需求 $ D $ 是随机变量，我们需要计算期望利润：

$$

E[\pi(Q)] = E[(p - v)D + (v - c)Q \cdot I(D \leq Q)] + E[(p - c)Q \cdot I(D > Q)

$$

其中 $ I(\cdot) $ 是指示函数。

简化后得：

$$

E[\pi(Q)] = (p - v)E[D \cdot I(D \leq Q)] + (v - c)Q \cdot P(D \leq Q) + (p - c)Q \cdot P(D > Q)

$$

进一步整理：

$$

E[\pi(Q)] = (p - v)E[D \mid D \leq Q] \cdot P(D \leq Q) + (v - c)Q \cdot P(D \leq Q) + (p - c)Q \cdot P(D > Q)

$$

4. 最优订购量

为了最大化期望利润，对 $ Q $ 求导并令其等于0：

$$

\frac{d}{dQ} E[\pi(Q)] = (p - v)f(Q) + (v - c)P(D \leq Q) + (p - c)(-f(Q)) = 0

$$

整理得：

$$

(p - v)f(Q) - (p - c)f(Q) + (v - c)P(D \leq Q) = 0

$$

$$